古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。根据悖论形成的原因，把它归纳为六种类型，所记都是流传很广的常见悖论。随着现代数学、逻辑学、物理学和天文学的快速发展，又有不少新的悖论大量涌现，人们在孜孜不倦地探索，预计他们的成果将极大地改变我们的思维观念。它们分别是:
自指引发
以下诸例都存在着一个概念自指或自相关的问题:如果从肯定命题入手，就会得到它的否定命题;如果从否定命题入手，就会得到它的肯定命题。由概念自指引发的悖论和引进无限带来的悖论。
1-1 谎言者悖论
公元前六世纪，哲学家克利特人艾皮米尼地斯:"所有克利特人都说谎，他们中间的一个诗人这么说。"这就是这个著名悖论的来源。
《圣经》里曾经提到:"有克利特人中的一个本地中先知说:"克利特人常说谎话，乃是恶兽，又馋又懒""。可见这个悖论很出名，但是保罗对于它的逻辑解答并没有兴趣。
1-2 "我在说谎"
如果他在说谎，那么"我在说谎"就是一个谎，因此他说的是实话;但是如果这是实话，他又在说谎。矛盾不可避免。它的一个翻版:
1-3 "这句话是错的"
这句话是错的如果是事实，那么这句话就是对的，但是它是对的，就与所说的这句话是错的事实不符。这句话是错的如果是假的，那么这句话就是对的，但这句话如果是对的，那么假设的这句话是错的假的结论就被推翻，也矛盾了。这类悖论的一个标准形式是:如果事件A发生，则推导出非A，非A发生则推导出A，这是一个自相矛盾的无限逻辑循环。
哲学家罗素曾经认真地思考过这个悖论，并试图找到解决的办法。他在《我的哲学的发展》第七章《数学原理》里说道:"自亚里士多德以来，无论哪一个学派的逻辑学家，从他们所公认的前提中似乎都可以推出一些矛盾来。这表明有些东西是有毛病的，但是指不出纠正的方法是什么。在1903年的春季，其中一种矛盾的发现把我正在享受的那种逻辑蜜月打断了。"
他说:谎言者悖论最简单地勾画出了他发现的那个矛盾:"那个说谎的人说:"不论我说什么都是假的"。事实上，这就是他所说的一句话，但是这句话是指他所说的话的总体。只是把这句话包括在那个总体之中的时候才产生一个悖论。"
罗素试图用命题分层的办法来解决:"第一级命题我们可以说就是不涉及命题总体的那些命题;第二级命题就是涉及第一级命题的总体的那些命题;其余仿此，以至无穷。"但是这一方法并没有取得成效。"1903年和1904年这一整个时期，我差不多完全是致力于这一件事，但是毫不成功。"
《数学原理》尝试整个纯粹的数学是在纯逻辑的前提下推导出来的，并且使用逻辑术语说明概念，回避自然语言的歧意。但是他在书的序言里称这是:"发表一本包含那么许多未曾解决的争论的书。"可见，从数学基础的逻辑上彻底地解决这个悖论并不容易。
接下来他指出，在一切逻辑的悖论里都有一种"反身的自指"，就是说，"它包含讲那个总体的某种东西，而这种东西又是总体中的一份子。"这一观点比较容易理解，如果这个悖论是克利特以外的什么人说的，悖论就会自动消除。但是在集合论里，问题并不这么简单。
1-4 理发师悖论
在萨维尔村，理发师挂出一块招牌:"我只给村里所有那些不给自己理发的人理发。"有人问他:"你给不给自己理发?"理发师顿时无言以对。
这是一个矛盾推理:如果理发师不给自己理发，他就属于招牌上的那一类人。有言在先，他应该给自己理发。反之，如果这个理发师给他自己理发，根据招牌所言，他只给村中不给自己理发的人理发，他不能给自己理发。
因此，无论这个理发师怎么回答，都不能排除内在的矛盾。这个悖论是罗素在一九〇二年提出来的，所以又叫"罗素悖论"。这是集合论悖论的通俗的、有故事情节的表述。显然，这里也存在着一个不可排除的"自指"问题。
1-5 集合论悖论
"R是所有不包含自身的集合的集合。"
人们同样会问:"R包含不包含R自身?"如果不包含，由R的定义，R应属于R。如果R包含自身的话，R又不属于R。
继罗素的集合论悖论发现了数学基础有问题以后，1931年歌德尔提出了一个"不完全定理"，打破了十九世纪末数学家"所有的数学体系都可以由逻辑推导出来"的理想。这个定理指出:任何公设系统都不是完备的，其中必然存在着既不能被肯定也不能被否定的命题。例如，欧氏几何中的"平行线公理"，对它的否定产生了几种非欧几何;罗素悖论也表明集合论公理体系不完备。
1-6 书目悖论
一个图书馆编纂了一本书名词典，它列出且只列出这个图书馆里所有不列出自己书名的书。那么它列不列出自己的书名?
这个悖论与理发师悖论基本一致。
1-7 苏格拉底悖论
有"西方孔子"之称的雅典人苏格拉底是古希腊的大哲学家，曾经与普洛特哥拉斯、哥吉斯等著名诡辩家相对。他建立 "定义"以对付诡辩派混淆的修辞，从而勘落了百家的杂说。但是他的道德观念不为希腊人所容，竟在七十岁的时候被当作诡辩杂说的代表。在普洛特哥拉斯被驱逐、书被焚十二年以后，苏格拉底也被处以死刑，但是他的学说得到了柏拉图和亚里士多德的继承。
苏格拉底有一句名言:"我只知道一件事，那就是什么都不知道。"
这是一个悖论，我们无法从这句话中推论出苏格拉底是否对这件事本身也不知道。古代中国也有一个类似的例子:
1-8 "言尽悖"
这是《庄子·齐物论》里庄子说的。后期墨家反驳道:如果"言尽悖"，庄子的这个言难道就不悖吗?我们常说:
1-9 "世界上没有绝对的真理"
我们不知道这句话本身是不是"绝对的真理"。
1-10柏拉图-苏格拉底悖论
柏拉图，古希腊伟大的哲学家，也是全部西方哲学乃至整个西方文化最伟大的哲学家和思想家之一，他和老师苏格拉底，学生亚里士多德并称为古希腊三大哲学家。
柏拉图说:"苏格拉底的下句话是错误的"。
苏格拉底说:"柏拉图说得对。"
不论你假定哪个句子是真的，另一个句子都会与之矛盾。两个句子都不是自我诠释，但作为一个整体，同样构成了说谎者悖论。
1-11 "荒谬的真实"
有字典给悖论下定义，说它是"荒谬的真实"，而这种矛盾修饰本身也是一种"压缩的悖论"。悖论来自希腊语"para+dokein"，意思是"多想一想"。
这些例子都说明，在逻辑上它们都无法摆脱概念自指所带来的恶性循环。有没有进一步的解决办法?在下面一节的最后一部份还将继续探讨。
引进无限
《墨子·经说下》中有一句话:"南方有穷，则可尽;无穷，则不可尽。"如果在有限中引进无限，就可能引起悖论。
2-1 阿基里斯悖论
稍晚于毕达哥拉斯的古希腊数学家芝诺，曾经提出过一些著名的悖论，对以后数学、物理概念产生了重要影响，阿基里斯悖论是其中的一个。
阿基里斯是希腊神话中善跑的英雄。芝诺讲:阿基里斯在赛跑中不可能追上起步稍微领先于他的乌龟，因为当他要到达乌龟出发的那一点，乌龟又向前爬动了。阿基里斯和乌龟的距离可以无限地缩小，但永远追不上乌龟。
方励之先生曾经用物理语言描述过这个问题:在阿基里斯悖论中使用了两种不同的时间度量。一般度量方法是:假设阿基里斯与乌龟在开始时的距离为S，速度分别为V1和V2。当时间T=S/时，阿基里斯就赶上了乌龟。
但是芝诺的测量方法不同:阿基里斯将逐次到达乌龟在前一次的出发点，这个时间为T"。对于任何T"，可能无限缩短，但阿基里斯永远在乌龟的后面。关键是这个T"无法度量T=S/以后的时间。
2-2 二分法悖论
这也是芝诺提出的一个悖论:当一个物体行进一段距离到达D，它必须首先到达距离D的二分之一，然后是四分之一、八分之一、十六分之一、以至可以无穷地划分下去。因此，这个物体永远也到达不了D。
这些结论在实践中不存在，但是在逻辑上无可挑剔。
芝诺甚至认为:"不可能有从一地到另一地的运动，因为如果有这样的运动，就会有"完善的无限"，而这是不可能的。"如果阿基里斯事实上在T时追上了乌龟，那么，"这是一种不合逻辑的现象，因而决不是真理，而仅仅是一种欺骗"。这就是说感官是不可靠的，没有逻辑可靠。
他认为:"穷尽无限是绝对不可能的"。根据这个运动理论，芝诺还提出了一个类似的运动佯谬:
2-3 "飞矢不动"
在芝诺看来，由于飞箭在其飞行的每个瞬间都有一个瞬时的位置，它在这个位置上和不动没有什么区别。那么，无限个静止位置的总和就等于运动了吗?或者无限重复的静止就是运动?中国古代也有类似的说法，如:
这是《庄子·天下》中惠施的一句名言。二千多年前中国古人同样运用了无限的概念。
战国名家宋国人惠施曾任梁国的宰相，论辩奇才，是庄子的朋友，和公孙龙并列为名家的代表人物。他的著作多已亡佚，只能从其他诸家的论述中看到他的言行片段。
惠施的学说强调万物的共相，因而事物之间的差异只是一种相对的概念，现存与惠施有关的奇怪命题，例如，"山与泽平"、"卵有毛"、"鸡三足"、"犬可以为牛"、"火不热"、"矩不方"、"白狗黑"、"孤驹未尝有母"等，都可以说是悖论，但是大部份没有留下具体的争辩过程。惠施的悖论在西方也很有影响。
毛泽东从辩证法的角度基本接受惠施无限可分的观点。一九六四年八月十八日，他同哲学工作者谈话时说:"列宁讲过，凡事可分。举原子为例，不但原子可分，电子也可分。"又说:"电子本身到现在还没有分裂，总有一天能分裂的。"一尺之捶，日取其半，万世不竭"，这是个真理。不信，就试试看。如果有竭就没有科学了。"
有人注意到，毛泽东十分偏爱这句话，如五十年代中期对核物理学家钱三强，一九六四年八月同周培源、于光远，一九七三年、一九七四年接见杨振宁、李政道，等等，都提到这句话。
2-6 "点一样多?"
"1厘米线段内的点与太平洋面上的点一样多"
多少哲学家、数学家都唯恐陷入悖论而退避三舍。二十三岁获博士学位的德国数学家康托尔六年以后向无穷宣战。他成功地证明了:一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应。由于无限，1厘米长的线段内的点，与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都"一样多"。
然而，康托尔的"无穷集合"与传统的数学观念发生冲突，遭到谩骂。直到一八九七年第一次国际数学家会议，他的成果才得到承认，几乎全部数学都以集合论为基础。罗素称赞他的工作"可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作。"
同时，集合论中也出现了一些自相矛盾的现象，尤其是罗素的理发师悖论，以极为简明的形式震撼了数学的基础，这就是"第三次数学危机"。此后，数学家们进行了不懈地探讨。
例如，一九九六年英国剑桥大学出版社出版了亨迪卡的《数学原理的重新考察》，这本书以罗素的《数学原理》为蓝本的，试图完善逻辑和数学基础。它主要阐述了亨迪卡和桑朵新创的IF逻辑及其可能产生的影响。它挑战了许多公认的观念，如公理集合论作为数学理论的适当框架，对说谎者悖论也作了进一步的探讨。它是否将引起一场逻辑和数学基础的革命?我们还将拭目以待。
