反比例函数性质 反比例函数的图像和性质

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发布时间: 2020-08-31 02:49:23
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提到反比例,大家应该都了解,有朋友问反比例函数图像,当然了,还有朋友想问正比例函数反比例函数,这到底怎么回事呢?事实上反比例函数图像性质总结呢,下面是小编分享的反比例函数的图像和性质,希望能帮到大家。

反比例函数的图像和性质

函数性质

1、单调性

当k>0时,图象分别位于第一、三象限,每一个象限内,从左往右,y随x的增大而减小;

当k<0时,图象分别位于第二、四象限,每一个象限内,从左往右,y随x的增大而增大。

k>0时,函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数;k<0时,函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。

2、面积

在一个反比例函数图像上任取两点,过点分别作x轴,y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为|k|,

反比例函数上一点 向x 、y 轴分别作垂线,分别交于y轴和x轴,则QOWM的面积为|k|,则连接该矩形的对角线即连接OM,则RT△OMQ的面积=½|k|。

3、图像表达

反比例函数图象不与x轴和y轴相交的渐近线为:x轴与y轴。

k值相等的反比例函数图象重合,k值不相等的反比例函数图象永不相交。

|k|越大,反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。

4、对称性

反比例函数图象是中心对称图形,对称中心是原点;反比例函数的图象也是轴对称图形,其对称轴为y=x或y=-x;反比例函数图象上的点关于坐标原点对称。

图象关于原点对称。若设正比例函数y=mx与反比例函数 交于A、B两点(m、n同号),那么A B两点关于原点对称。

反比例函数关于正比例函数y=±x轴对称,并且关于原点中心对称。

1、概念理解

自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。

反比例函数图象性质:反比例函数的图象为双曲线。

由于反比例函数属于奇函数,有对称中心,图象关于原点对称。

另外,从反比例函数的解析式可以得出,在反比例函数的图象上任取一点,向两个坐标轴作垂线,这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值,为∣k∣。

2、反比例函数图象的画法步骤:

1、列表:自变量的取值应以原点为中心,在原点的两侧取三对(或三对以上)互为相反数的值,填写 y 值时,只需计算一侧的函数值,另一侧的函数值是与之对应的相反数。

2、描点:描出一侧的点后,另一侧可根据中心对称去描点。

3、连线:按照从左到右的顺序连接各点并延伸,连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接,切忌画成折线,注意双曲钱的两个分支是断开的,延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势,但永远不与坐标轴相交。

1、反比例函数y=xk(k≠0)的图象是双曲线;

2、当k>0,双曲线的两支分别位于第一、第三象限,在每一象限内y随x的增大而减小;

3、当k<0,双曲线的两支分别位于第二、第四象限,在每一象限内y随x的增大而增大。

注意:反比例函数的图象与坐标轴没有交点。

比例系数k的几何意义

在反比例函数y=xk图象中任取一点,过这一个点向x轴和y轴分别作垂线,与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|。

在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线,这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|2,且保持不变。

反比例函数的图像性质是什么

y=k/x

当k>0时,函数图像的两个分支分别在第一、三象限,在每个象限内,y随x的增大而减小。

当k<0时,函数图像的两个分支分别在第二、四象限,在每个象限内,y随x的增大而增大。

反比例函数的图像与性质

1.反比例函数Y=x/k(k≠0)的图象是双曲线。

2.(1)k>时,图像是位于一、三象限,在每个象限双曲线内,Y随X的增大而减小。

(2)k<0时,图像是位于二、四象限,在每个象限的双曲线内,Y随X的增大而增大。

(3)注:a.y=x/k中,x≠0,故双曲线的两支是不相连的。

b.由于函数中x,y的值均不为0,所以双曲线的两个分支都无限的接近坐标轴,但永远不能和x轴、y轴相交。

正比例函数 反比例函数 性质和图像怎样区别

正比例函数的图象是经过原点的一条直线,是一次函数的特殊形式。当k为正时,函数单调递增,反之单调递减。反比例函数的图象是双曲线。当k为正时,在每个区间里,函数单调递减,反之单调递增。正比例函数和反比例函数均为奇函数,即其图象均关于原点中心对称。

反比例函数的图像和性质运用了什么数学

本节的重点是结合图象,总结出反比例函数的性质.学习了前面三个基本函数后,学生有了一些识图的能力,并掌握了基本的研究方法.学生在经历了一个画图的过程后,可以通过观察、分析、与同学的相互讨论、交流中,逐步形成对反比例函数的全面认识.可以培养学生运用数形结合的数学思想方法,也是一个数学地发现问题解决问题的过程.本节的另一个重点是用待定系数法求反比例函数的解析式,这种方法在求四种基本函数解析式中都已经用到,本节课通过巩固练习,可进一步提高对待定系数法的认识.例如学生可以观察出有几个待定系数,就需要几对自变量与函数的对应值,即几个方程.

  本节的难点是描点、画图,由于学生知识的限制,描点、画图不能对图形有一个全面的把握.这样,学生在描点画图时就会感到困难,无法估计出这个图象到底是什么样子,感到无从下手.因此,从解析式中可以进行初步的分析,认识到反比例函数的图象分成两支,以便初步认识其图象的大致变化趋势.

教法建议

  数学教育的目的之一是帮助学生认识数学,数学与现实世界有着密切的联系,而且数学的发展是一个充满着观察、实验、归纳、类比和猜测的探索过程,因此,学生在获得知识的同时,也应该养成尊重客观事实的态度,勇于探索的精神以及独立思考与人合作交流的习惯.具体安排如下:

  (1)从实例中抽象出数学模型

  小学学习过反比例关系的知识,现在的物理、化学等学科中也有许多反比比例的实例.学生可以从比较简单的实例中,抽象出这类函数的特点,形成反比例函数的概念.

  (2)画出图象,研究反比例函数的性质

  可以创设数学情境,引导学生找出数与形的关系.如:k>0时,x与y同号,图象在一、三象限,k<0时,x、y异号,图象在二、四象限.类似的结论,可以在画图前,先组织学生猜测,并说明根据,画图后,再进行补充.让学生体验数学知识的形成过程.

(3)牢固掌握待定系数法

进一步熟悉待定系数法解题的一般步骤,并通过不断地运用,逐渐发现有几个待定系数,就应列出几个相应的方程.这样反比例函数只需一对自变量与函数的对应值就可确定其解析式.

教学目标

  1、使学生能从简单的实际问题中抽象出反比例关系的函数解析式;

  2、会画出反比例函数的图象,并能结合图象总结出反比例函数的性质,渗透数形结合的数学思想;.

  3、会用待定系数法求反比例函数的解析式;

  4、通过揭示正比例函数与反比例函数的联系与转化,渗透辩证唯物主义的思想;

  5、通过观察、归纳、总结反比例函数的性质,培养学生勇于探索的科学精神;

  6、培养学生数学地发现问题,并利用数学知识解决问题的能力.

教学重点:

反比例的概念、图像、性质以及用待定系数法确定反比例函数的解析式.因为要研究反比例函数就必须明确反比例函数的上述问题.

教学难点:

画反比例函数的图像,因为反比例函数的图像有两个分支,而且这两个分支的变化趋势又不同,学生初次接触,一定会感到困难.

教学过程:

一、新课引入:

  看下面的实例:(出示幻灯)

  1.小红家到学校的路程有5公里,写出她上学所用的时间t与速度v的函数关系式;

2.有一个矩形面积是3平方米,写出它的长a与宽b之间的函数关系式;

3.十一放七天假,老师布置要记忆36个单词.设小明完成的天数为n,每天的单词量为m,写出m 与n 的函数关系式?

答:从函数的观点看,在运动变化的过程中,这两个变量可以分别看成自变量与函数,写成: ( ), ( ), ( )

二、新课讲解:

  1、让学生观察这几个函数的特点,然后得出反比例函数的概念:(板书)

一般地,函数 (k是常数, )叫做反比例函数.

注意:自变量的指数是 -1,而不是1.

  例1、判断以下哪个式子中的x、y表示反比例函数关系?

⑴ ⑵ ⑶

例2、写出下列函数的解析式,并判断他们是不是反比例函数,如果是,求出他们的定义域.

⑴一个圆柱形钢材的体积是800cm3,写出它的底面积 和高 的函数关系.⑵压强大小是由单位面积所受到的压力决定的,那么当物体受到的垂直压力为100牛时,写出压强与受力面积的函数关系.

2、根据前面学习特殊函数的经验,研究完函数的概念,跟着要研究的是什么?

  答:图像和性质.

  通过这个问题,使学生对课本上给出的知识的发生、发展过程有一个明确的认识,以后

  学生要研究其他函数,也可以按照这种方式来研究.

  下面,我们就来看一个例题:(出示幻灯)

  例3、在平面直角坐标系中画出反比例函数 与 的图像.

提问:⑴画函数图像的关键问题是什么?

  答:合理、正确地选值列表.

  ⑵在选值时,你认为要注意什么问题?

  答:Ⅰ、由于函数图像的特点还不清楚,多选几个点较好;

   Ⅱ、不能选 ,因为 时函数无意义;

   Ⅲ、选整数较好计算和描点.

反比例函数的图像和性质是几年级内容

反比例函数的图像和性质是几年级内容?

人教版八年级数学下册第十七章——反比例函数的图象和性质

反比例函数图像性质y等于x分之2的图像图片

反比例函数的性质

1.当k>0时,图象分别位于第一、三象限;当k<0时,图象分别位于第二、四象限.

2.当k>0时.在同一个象限内,y随x的增大而减小;当k<0时,在同一个象限,y随x的增大而增大.

k>0时,函数在x<0上为减函数、在x>0上同为减函数;k<0时,函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。

定义域为x≠0;值域为y≠0。

3.因为在y=k/x(k≠0)中,x不能为0,y也不能为0,所以反比例函数的图象不可能与x轴相交,也不可能与y轴相交.

4. 在一个反比例函数图象上任取两点P,Q,过点P,Q分别作x轴,y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S1,S2则S1=S2=|K|

5. 反比例函数的图象既是轴对称图形,又是中心对称图形,它有两条对称轴 y=x y=-x(即第一三,二四象限角平分线),对称中心是坐标原点.

6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点(m、n同号),那么A B两点关于原点对称。

7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n,要使它们有公共交点,则b²+4k·m≮(不小于)0.

8.反比例函数y=k/x的渐近线:x轴与y轴。

反比例函数图像及其性质 增减性

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