手抄报一:世界七大数学难题
1.NP完全问题
在一个星期六的晚上，你参加了一个盛大的聚会。尴尬，你想知道这个大厅里有没有你已经认识的人。宴会的主人向你暗示，你一定认识坐在甜点盘旁边角落里的罗丝女士。不消一秒钟，你就往那边一瞥，发现宴会的主持人是正确的。但是，如果没有这样的建议，你必须环视整个大厅，一个一个地看每个人，看看有没有你认识的人。
生成问题的解决方案通常比验证给定的解决方案花费更多的时间。这是这种普遍现象的一个例子。同样，如果有人告诉你，13717421这个数可以写成两个更小的数的乘积，你可能不知道该不该相信他，但如果他告诉你，这个数可以分解成3607乘以3803，那么你就可以很容易地用袖珍计算器验证这是正确的。
人们发现，所有的完全多项式不确定性问题都可以转化为一种逻辑运算问题，称为满足问题。既然这类问题所有可能的答案都可以在多项式时间内计算出来，那么人们就怀疑这类问题是否有一种确定性算法，可以在多项式时间内直接计算或搜索到正确答案。这就是著名的NP=P？猜想。无论我们是否熟练地编写程序，在逻辑和计算机科学中，确定一个答案是否可以用内部知识快速验证，或者没有这样的提示是否需要花费大量的时间来解决，都被认为是最突出的问题之一。这是史蒂文·科克在1971年提出的。
2.霍奇猜到了
20世纪的数学家发现了一种研究复杂物体形状的强有力的方法。基本思路是问我们通过把简单的几何积木用越来越大的尺寸粘合在一起，可以在多大程度上形成给定物体的形状。这项技术变得非常有用，可以通过许多不同的方式推广；最后，它导致了一些强大的工具，使数学家在对他们研究中遇到的各种对象进行分类方面取得了很大的进展。不幸的是，在这种概括中，程序的几何起点变得模糊。从某种意义上说，有些没有任何几何解释的部分是必须要加上的。霍奇猜想断言，对于所谓的射影代数簇，它是空之间特别完美的类型，称为霍奇闭链的分量实际上是称为代数闭链的几何分量的(有理线性)组合。
3.庞加莱猜想
如果我们把橡皮筋绕着苹果表面拉伸，既不能把它弄断，也不能让它离开表面，让它慢慢移动，收缩到一个点。另一方面，如果我们想象同一个橡胶带在一个胎面上以适当的方向拉伸，没有办法在不破坏橡胶带或胎面的情况下将其收缩到一个点。我们说苹果的表面是“简单连接的”，但胎面不是。大约一百年前，庞加莱就知道二维球体本质上可以用简单连通来表征。他提出了三维球体(四维空间中距离原点单位距离的所有点空)的对应问题。这个问题立刻变得异常困难，数学家们从此为之奋斗。
2002年11月至2003年7月间，俄罗斯数学家格里高利·佩雷尔曼发表了三篇论文的预印本，并声称证明了几何猜想。
佩雷尔曼之后，两组研究人员发表论文，完成佩雷尔曼给出的证明中缺失的细节。这包括密歇根大学的布鲁斯·克莱纳和约翰·洛特；哥伦比亚大学的约翰·摩根和麻省理工学院的田刚。
2006年8月，第25届国际数学家大会授予佩雷尔曼·菲尔兹奖。数学最终证实了佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。
4.黎曼假设
有些数有特殊性质，不能表示为两个较小数的乘积，如2、3、5、7等。这样的数叫质数；它们在纯数学及其应用中起着重要的作用。在所有自然数中，素数的分布不遵循任何规律；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到素数的出现频率与精心构造的黎曼ζ函数ζ(s)的行为密切相关。著名的黎曼假设断言，方程ζ(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这在最初的1，500，000，000个解决方案中得到了验证。证明每一个有意义的解都成立，将会揭开围绕质数分布的许多谜团。
否认黎曼假设；
其实因子的个数虽然是分布的，但这是错误的，因为伪素数和素数的通式告诉我们，素数和伪素数是由它们的变量集决定的。详见伪素数和素数。
5.青年工厂的存在和质量差距
量子物理定律是为基本粒子世界建立的，就像牛顿经典力学定律为宏观世界建立的一样。大约半个世纪前，杨振宁和米尔斯发现量子物理揭示了基本粒子物理和几何对象数学之间的惊人关系。基于杨-米尔斯方程的预测已经在世界各地的实验室进行的以下高能实验中得到证实:布鲁克·阿文、斯坦福、欧洲粒子物理和驻波研究所。然而，他们的方程描述了重粒子，在数学上是严格的，没有已知的解。特别是被大多数物理学家所证实，并应用在他们对“夸克”不可见性的解释中的“质量间隙”假说，从来没有得到过令人满意的数学证明。在这个问题上的进展需要在物理和数学中引入基本的新思想。
6.纳维尔-斯托克方程的存在性与光滑性
波浪跟随我们蜿蜒穿过湖面的船，湍流跟随我们现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家都深信，无论是微风还是湍流，都可以通过理解纳维尔-斯托克斯方程的解来解释和预测。虽然这些方程是19世纪写的，但我们对它们的了解仍然很少。面临的挑战是在数学理论上取得实质性的进展，从而解开纳维尔-斯托克斯方程中隐藏的谜团。
7.BSD猜想
数学家们总是对代数方程的所有整数解的表征着迷。欧几里德曾经给出了这个方程的完整解，但是对于更复杂的方程，就变得异常困难。事实上，正如马蒂亚斯维奇所指出的，希尔伯特的第十个问题是不可解的，即没有确定这样一个方程是否有整数解的一般方法。当解是阿贝尔群的一个点时，Behr和Svenneton-Dale猜想认为有理点群的大小与点s=1附近的相关Zeta函数z(s)的行为有关。特别是这个有趣的猜想认为，如果z(1)等于0，则存在无穷多个有理点(解)。反之，如果z(1)不等于0。这样的点数量有限。
手抄报二:四色定理的内容和建议四色问题的内容是:“任何一张平面地图，只用四种颜色，就可以让共同边界的国家用不同的颜色着色。”用数学语言表示，就是“把平面任意细分成不重叠的区域，每个区域总是可以标上1、2、3、4四个数字中的一个，而不需要让相邻的两个区域得到相同的数字。”
这里的相邻区域是指整个边界是共同的。如果这两个区域
如果一个域只与一个点或有限个数的点相交，则称它不相邻。因为用同样的颜色给它们上色不会造成混淆。
四色猜想来自英国。1852年，伦敦大学毕业的弗朗西斯·格思里(Francis guthrie)来到一个科研机构从事地图着色工作，他发现了一个有趣的现象:“似乎每张地图都可以用四种颜色来着色，这样，共同边界的国家就用不同的颜色来着色。”这种现象可以用数学方法严格证明吗？他和正在读大学的弟弟格莱斯决心试一试。两兄弟用来证明这个问题的论文已经堆了起来，但是研究工作毫无进展。
验证课程
1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明咨询了他的老师，著名数学家德·摩根。摩根找不到解决这个问题的方法，所以他写信给他的朋友，著名的数学家汉密尔顿爵士征求意见。汉密尔顿收到摩根的信后，演示了四色问题。但是直到1865年汉密尔顿去世，这个问题才得以解决。
1872年，当时英国最著名的数学家凯利正式向伦敦数学会提出了这个问题，于是四色猜想成为世界数学界关注的焦点。世界上很多一流的数学家都参与了四色猜想的大战。从1878年到1880年的两年间，两位著名的律师和数学家，坎普和泰勒，提交了证明四色猜想的论文，并宣布他们已经证明了四色定理。大家都以为四色猜想从此解决了。
坎普的证明是这样的:首先指出，如果没有一个国家围绕其他国家，或者在一个点上不超过三个国家相遇，那么地图就说是“正常”的。如果是规则地图，否则就是不规则地图。一张地图通常由一张普通地图和一张非正式地图链接而成，但非正式地图所需的颜色数量一般不会超过普通地图所需的数量。如果有一张地图需要五种颜色，说明它的正规地图是五种颜色。要证明四色猜想成立，只要证明不存在正规的五色图就够了。
坎普是用归谬法证明的。总的思路是，如果有一个正规的五色地图，就会有一个国家数量最少的“最小正规五色地图”。如果一个最小正则五色图的邻居少于六个，那么会有一个正则图，仍然是五色的国家更少，所以不会有最小的五色图，也不会有正则五色图。这样，肯普以为自己证明了“四色问题”，但后来人们发现他错了。
然而，肯普的证明澄清了两个重要的概念，为今后解决问题提供了一条途径。第一个概念是“配置”。他证明了每个正规地图中至少有一个国家有两个、三个、四个或五个邻居，没有哪个正规地图每个国家都有六个或六个以上的邻居。也就是说，由两个邻居、三个邻居、四个或五个邻居组成的一组“配置”是必然的，每个地图至少包含这四个配置中的一个。
坎普提出的另一个概念是可约性。“可约”一词的使用来源于坎普的论证。他证明了只要五色地图中的一个国家有四个邻居，就会出现国家较少的五色地图。自从“构形”和“可约性”概念的引入，一些检查构形以确定其是否可约的标准方法逐渐发展起来，可以找到不可约构形的必然群，这是证明“四色问题”的重要依据。然而，检查大量细节以证明大型配置具有可比性是相当复杂的。
十一年后的1890年，牛津大学29岁的学生赫尔伍德用他精确的计算指出了坎普证明中的漏洞。他指出，坎普提出的没有微小的五色地图可以使一个国家拥有五个邻国的理由是有缺陷的。很快，泰勒的证明也被否定了。人们发现他们其实证明了一个弱命题——五色定理。也就是说，给地图上色，五种颜色就够了。后来，虽然越来越多的数学家绞尽脑汁，却一无所获。于是，人们开始意识到，这个看似容易的题目，其实是一个堪比费马猜想的难题。
20世纪以来，科学家们基本上按照坎普的思路证明了四色猜想。1913年，美国著名数学家、哈佛大学的boekhoff运用了坎普的思想，结合了他的新思想；证明了一些大构型是可约的。后来，美国数学家富兰克林在1939年证明了22个国家以下的地图可以用四种颜色着色。1950年，一些人从22个国家发展到35个国家。1960年证明39个国家以下的地图只能用4种颜色着色；然后推给了50个国家。看来这个进度还是很慢的。
信息时代的成功
高速数字计算机的发明促使更多的数学家去研究“四色问题”。赫克于1936年开始研究四色猜想，公开宣称四色猜想可以通过寻找可约图的必然群来证明。他的学生娄磊写了一个计算程序。Heck不仅可以用这个程序生成的数据来证明构型是可约的，还可以通过将映射变换成数学上称为“对偶”的形状来描述可约构型。
他标记了每个国家的首都，然后用一条铁路穿越边境把周边国家的首都连接起来，把除了首都和铁路以外的所有线路都抹掉了，剩下的就叫原始地图的对偶图。20世纪60年代末，黑客引入了一种类似于在电网中移动电荷的方法来寻找不可避免的配置组。赫克研究中第一次以不成熟的形式出现的“放电法”，是未来必然群研究的关键，也是证明四色定理的中心要素。
电子计算机出现后，由于计算速度的快速提高和人机对话的出现，四色猜想的证明过程大大加快。1970年，伊利诺伊大学的哈肯开始改进“出院流程”，然后与阿佩尔合作，编制了一个很好的程序。1976年6月，他们在美国伊利诺伊大学的两台不同的电子计算机上花了1200个小时，做出了100亿个判断，最终完成了四色定理的证明，在世界范围内引起轰动。
这吸引了很多数学家和数学爱好者100多年。两位数学家发表研究成果时，当地邮局在当天寄出的所有邮件上加盖了“四色足矣”的特别邮戳，以庆祝这个问题的解决。
“四色问题”被证明不仅解决了一个持续了100多年的难题，而且成为数学史上一系列新思维的起点。在“四色”的研究过程中，产生了许多新的数学理论，发展了许多数学计算技巧。比如把地图的着色问题变成图论问题，丰富了图论的内容。而且“四色问题”对有效设计航班时刻表和计算机编码程序起到了推动作用。
然而，许多数学家对计算机取得的成就并不满意。他们认为应该有一个简单明了的书面证明方法。直到现在，很多数学家和数学爱好者还在寻找更简洁的证明方法。
几何证明
在平面图中，为了区分相邻的图形，相邻的图形需要用不同的颜色着色，相邻边缘的图形需要使用第三种颜色。我们首先假设四色定理成立。根据四色定理，一个平面内最多有四个相邻边的图形，由于第四个和三个相邻边的图形都有相邻边，所以相邻边的图形会围绕一个图形，所以一个平面内相邻边的图形最多。
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