康托尔的一个证明其实也得出同样的结论。用定积分的运算结果进一步证明了实数的可数性。它还发现了一个证明实数不可数的漏洞。关键词:实数；可数性；用尽方法
目前数学把数系分为两类:可数数系和不可数数系。认为自然数、有理数等是可数的，而实数如0-1之间的小数是不可数的。
事实上，0到1之间的实数是可数的。
0到1之间的所有小数都是可数的，并且有10n个小数
证据:
0和1之间的间隔逐渐划分如下:
图2
即使当n→∞。
因为n是正整数，当n→∞时，根据集合论，n等价于
图3 Alef 0
即正整数是无限的。所以现在的区间是由无数个无限点组成的。这是定积分运算中常见的运算。
康托尔用无穷序列定义实数的实践隐含着辩证法:无穷可以转化为无穷，无穷有限序列可以用来表示无穷小数，包括超越数，如e，π。
集合论的观点目前尚待商榷。
5连续区间的实数无限“截”包括其间的所有实数
5.1连续无限个“割”使区间的实数可数
连续性这个概念看起来很简单，但实际上很难。
人们已经知道了
图4根编号2
等等不是有理数，是无理数。有理数不填充数轴。
然而，本文证明了区间的所有小数都填充数轴。
这是一个明显的矛盾。
几个均匀连续的“切割”可以把一个大的间隔变成一个小的间隔。但是细胞还是间隔的。
但当有限均匀切割逐渐增大，最终变成无限均匀切割时，因为有一个飞跃:从有限到无限，区间发生了变化，不再是均匀单元，而是极限状态区间:点。
此时的切割应该理解为“完成”的无限性，即现实的无限性。只有当区间被连续截无穷多次时，可数实数才能包含该区间内的所有实数。
是无穷大推翻了当前集合论中的一些结论！
5.2以0.9…为例进一步说明
Courant的证书有6个漏洞
6.1 Courant试图用反证法证明不可数连续统
Courant的证明总结如下。
假设直线上从0到1的区间内的所有点可以按如下顺序排列:
a1，a2，a3，…
他建议a1点应该以1/10长度的间隔覆盖，a2点应该以1/10 ^ 2长度的间隔覆盖。然后，如果从0到1的所有点都包含在序列中，则单位间隔将完全由长度代替
1/10,1/10^2,……
的区间序列被完全覆盖。但是这些间隔长度的总和是下列等比数列的总和:
1/10+1/10^2+……=1/9
他的结论是，从序列包含所有0到1的实数这一事实出发，结果是一系列总长度为1/9的区间可以覆盖长度为1的区间，这显然是荒谬的。他认为这个矛盾证明了连续统的不可数性。
6.2证书中有错误
证书中有两个主要错误:
①他没有考虑微积分中的分数尺度。
②他没有考虑无限大小。
显然，在他看来，任何点序列中的点的尺度都是一样的0。其实不是。微积分中的点都是具体的，有具体尺度的具体点。无穷大也是。都需要具体问题具体分析。
根据库兰特的说法，把
a1，a2，a3，…
形成一个序列。
一个基本事实是，如果它们可以排列成一个线段，它们必须有尺寸。
有两种情况:①从0到1的区间平均分成N等份，即每个点的刻度为1/N..②这个区间平均分成10^n等份，即每个点的比例尺是1/10 n，最后一定有n→∞。
6.3点数比例为1/n时的分析
一个点的标度是1/n，毫无疑问，当n趋近无穷大时，1/n的标度是0。
必须强调的是，Courant提出的两个序列中的项数是相同的，都是N项。如下:
①a1，a2，a3，…，an .
和中的项目是一一对应的。
一对一通信。由于格式问题，无法表示。只能出现一个箭头符号。对不起李长白)
②1/10，1/10^2，1/10^3，…，1/10^n。
很容易看出，并且有相同数量的项，多达n个项。
a1，a2 .
1/10, 1/10^2。
因此，这两项不能涵盖那两项。
当再次考虑n=10时，则:
a1，a2，a3，…，a10 .
1/10, 1/10^2 , 1/10^3 , …, 1/10^10。
现在中有10个项目，其中只有第一个项目与中的第一个项目具有相同的值，其余项目小于中的相应项目。所以结论是:只有第一项可以认为是书中的第一项，其余的不能用对应项覆盖。
很容易看到，随着n的增加，后面序列中可以覆盖到上面的项目数量发生了变化，但是后面还是有很多不能覆盖的情况。
现在考虑n最终趋近于无穷大的情况。注:此时，中间大部分项目的“比例”会小于中间项目对应的比例。也就是说，序列后面的点的大小将大于序列后面表示的“区间”的大小。具体如下:
a1= a2= …=an…=1/n
1/10，1/10^2，1/10^3，…，1/10^n。
因为中的所有项目都等于1/n，所以中第一个项目的值大于相应项目的值。例如，1/10必须大于1/n，以此类推。然后会有一些物品可以用相应的物品覆盖。但是，显而易见的事实是:书中每一项的大小都不会改变，所以只有非常有限的几项可以覆盖书中相应的项，而且大部分都不能覆盖相应的项。还是那句话，说到n→∞，按极限
根据罗比塔定律
。
从结果来看，很容易理解，当n足够大时，特别是当n达到无穷大时，序列中的项会变得太小，无法覆盖序列中的点。所以，虽然和的标度在n→∞时都是0，但它们是具体的，不同于0。
6.4第二种情况的分析
让我们考虑第二种情况，即:
a1=a2=…=an…=1/10^n
这样，Courant第二序列中的项目，即1/10，1/10 ^ 2，1/10 ^ 3，…，就可以覆盖序列中对应的项目。
酪只要仔细研究，就会发现序列中的项数是10 n，也就是有10 n个点；Courant下面的序列中的项目数只有N个项目，即N个点，如下所示:
a1,a2,a3,…,an-1，an，an+1，…， 。 1/10， 1/10^2 , 1/10^3 , …, 1/10^， 1/10^n。有10^n项目，但只有n个项目。所以后者的数量远远少于前者。因此，A项和所有后续的项和序列中没有对应的项。既然发现了大量的点，后者还是不可能覆盖前者。
7研究是无限的，需要谨慎
本文证明了0到1之间的实数是可数的。
同理，可以证明所有实数都是可数的。因为可数集加可数集还是可数的。
在实际操作中，没有抽象的无限，无限永远是具体的。无限分析需要极大的细心和细心。
