都是正数
会是负面的
最近又有一个热门话题。从1到正无穷的正整数之和等于-1/12吗？我相信大多数人都会想，“怎么可能？答案应该是正无穷大。为什么会有负数？”。
超模让我笑。作为一个专攻数学普及的18线在线名人，今天我就来给大家讲讲这个知识点。
神奇的方程式
第一期告诉我们格兰迪系列等于1/2。
第二期的结论似乎更吓人。所有自然数之和等于-1/12！
相信很多人看完视频的第一反应一定是:怎么可能？那是不可能的！
在视频中，约瑟夫·波尔钦斯基的著作《弦论》甚至被作为证据，告诉我们这个公式的结论在物理相关领域有着广泛的应用。
同时，这本书好像不是国内某个民间科学家写的，可以把态度从不屑一顾提升到怀疑。
现在我们不妨从头梳理一下，看看这期间隐藏着怎样的数学内幕。
看似简单易懂的推导
首先是格兰迪系列S1:
过程很清楚。接下来是所有自然数的和，可能有点麻烦:
证明分为两步。在第一步中，获得中间系列S2的值。
第二步是我们需要的结果:
简直无可挑剔！
对非民事主体的批判
超模君说:虽然这是一个小学生都能理解的证明，但一个高中文化程度的人，已经能察觉到证明过程中的尴尬。如果你是大学生，听过微积分课上的课，你绝对可以在视频中指出这些证明的一个巨大bug:
在无穷级数中，只有绝对收敛的无穷级数才能在不改变收敛值的情况下重新排列项目。也就是说，对于非绝对收敛的无穷级数，求和顺序不能任意改变！这就是黎曼级数定理，也叫黎曼重排定理。
视频中的证明过程充满了民科的味道。从S1=1/2的证明出发，级数求和的顺序一直是随意改变的，利用“移项变号”、“错位减法”等巧妙方法，得到了一个看似正确的令人信服的结果。
不幸的是，从严谨的数学角度来看，上述所有证明过程都是完全站不住脚的。
确实，各种论坛上关于这个问题最常见的争论就到此为止:格兰迪系列是一个发散系列，无法总结。既然S1=1/2，那么所有的论点都是错的，没有必要看后者。
好像是一群外国深井冰在忽悠愚蠢的欧洲人，可惜传到了中国，中国学生的数学背景远远超出了那些英国人的想象，一眼就能看穿真相。再一次，民科被我们的眼睛看穿了，一切都只是一个笑话。
然而，真的结束了吗？这些英国人真的只是无聊的深井冰吗？视频里的托尼好像也是诺丁汉大学的物理学家。天啊，难道只是为了给大众开个玩笑？如果错了，为什么这个公式会在物理学中产生深远的影响和应用？
我们应该更冷静地思考这个公式的背后是什么。
我们要求什么
其实就像中学时，为了向学生解释为什么圆锥的体积是同底同高圆柱的三分之一，老师只是在圆锥形容器里灌了三次水，然后才在同底同高的圆柱形容器里灌了水。中学老师不会真的告诉你多重积分的计算，托尼也不会真的告诉你所有自然数求和的数学背景。这些看似漏洞百出，其实只是为了向你展示这个结论的存在，而不是为了证明严格意义上的存在。
