摘自机械出版社授权的《数学极客:探索数、逻辑、计算之美》，在此表示感谢！
第二章 整数 Integer自然数是我们知道的第一批数字，但根本不够。考虑到我们使用数字的方式，您不可避免地需要扩展到自然数的范围之外。
如果你去商店买东西，你会为你想买的商品付钱。你可以用3美元买一些面包。如果你给店主5美元，店主需要给你2美元。
当你试图用自然数来理解这个过程时，你会发现这个过程没有意义。资金流向两个不同的方向。第一个方向是从你流向店铺——花你的钱；第二个方向是从商店到你——找零。正数和负数让我们能够区分这两种流动的方向。
2.1什么是整数如果你有一个自然数，想要一个整数，你要做的就是加一个加法逆元。如果你懂自然数，想进一步了解整数，只需要加一个方向。想象一个数轴，自然数从0向右延伸，与0的左边无关；整数基于自然数，加上从0向左延伸的负数。
整数的意义遵循方向的概念。就基数和序数而言，正整数和自然数完全一样。负整数允许你向另一个方向移动。如果从基数的角度考虑，整数可以描述集合之间的移动元素。如果您有一个大小为27的集合和另一个大小为29的集合，您可以选择在第一个集合中添加两个元素，或者从第二个集合中移除两个元素。如果您在第一个集合中添加了两个元素，那么您所做的事情具有正的基数。如果您从第二个集合中移除两个元素，那么您所做的事情就是负基数的。
从序数的角度更容易理解。如果你正在看一个集合中的第三个元素，然后想看第五个元素，那么向前移动2步。这个动作用一个正序数来描述。如果您正在查看第五个元素，并且想要查看第三个元素，请后退2步。这个动作用负序数来描述。
让我们转向公理化定义。整数是通过给自然数加上一个逆规则而扩展的数。从自然数集合n出发，加上钢琴法则，我们只需要再加一个加法逆的定义。非零自然数的加法逆是负整数。为了得到整数，我们只需要增加下面两条新规则。
加法逆元:对于任意非零自然数n，总有一个数-n不是自然数，使n+=0。我们称-n为n的加性逆，自然数的集合及其加性逆为整数。
逆元的唯一性:对于任意两个整数I和J，J是I的可加逆元当且仅当I是J的可加逆元..
通过这些规则，我们得到了新的东西。我们之前讨论的自然数不能满足这些规则。那么新事物从何而来呢？
答案有点让人失望。他们不来自任何地方，他们已经存在。在数学中，我们不能创造物体，我们只能描述它们。这些数字的存在是因为我们定义了描述它们的规则，而这些规则以一种兼容的方式描述了一些事情。
对于所有这些，有一句时髦的话:整数是包括零、正数和负数在内的所有数字。
同样，如果定义自然数上的加法，加法逆法则足以使加法也适用于整数。而且因为自然数的乘法只是重复加法，所以乘法也适用于整数。
