就像张量是高维矩阵的推广一样，本文将讨论高维矩阵理论中最基本的知识点——秩和行列式的推广及其实际意义。本文作者夏原发表于作者个人博客，授权雷发表。
作为一名工科学生，我们长期使用矩阵、行列式等线性代数知识。在这篇文章中，我想说的就是这些问题，即什么是面积，什么是高纬度地区的延伸。
1什么是面积？
至于什么是面积，可以先想想我们生活中常用的长*宽吗？是真的吗？其实我们这里说的面积，其实是欧几里得空之间几何面积的基本单位:平行四边形的面积。平行四边形面积的定义在几何上是相邻边的边长的正弦乘以它们之间的角度。
然而，当我们面对一些更一般的情况和更高维的数学问题时，有必要对面积的定义进行推广。首先要注意的是，面积是一个标量，是两个向量从两个相邻边相乘的结果。因此，当我们来到这里时，我们需要将面积视为一种映射关系。
这里的V可以看作是一个适量，V*V代表两个有序的适量对，所以f自然是需要的面积。
现在我们就证明这个映射是以后的线性映射。请坐好，坚持住:
现在我们举一个简单的例子。现在我们假设第一个向量是，第二个向量是，也就是说这两个向量是X轴和Y轴上单位为正的单位向量，那么这两个向量组成的四边形实际上是一个正方形，根据面积的定义实际上是* width =1*1=1。
因此，我们可以得到:
现在我们假设，如果第一个向量被缩放a倍，这个四边形的面积就会变成对应的a倍，这个面积就会变成原来的a倍。如果第二个向量缩放b倍，面积也会变成原来的ab倍。这表明面积映射与其他两个操作数的标量积成线性关系，如下所示:
实际上，面积映射也与其操作数的矢量相加成线性关系。因为向量加法本身的运算是线性的，那么它的面积映射实际上就是线性映射。现在我想通过几个例子解释一下映射加法线性的一些后果。
两个共线向量形成的平行四边形是一条线，所以面积为0。现在，假设面积映射是具有适当加法量的线性映射，我们得到以下结果
事实上，这里实际上使用了一种理论:
也就是说，互相垂直的操作数交换适当的顺序后，面积的映射变成负值。是正面还是负面取决于你的定义。一般我们把X轴的向量放在前面，Y轴的向量放在后面，从X轴到Y轴形成的平行四边形的面积一般认为是正号。
2 3D空房间的应用
在3-D 空中，我们通常用右手定则进行实验。如果X轴的平方是头，Y轴的正方向是尾，右手定则告诉我，纸面向外的方向就是面积的正方向。如果反过来，纸面向内的方向是该区域的正方向，与规定的符号方向相反。现在符号的几何意义更加明显。
现在我们假设由平面上任意两个向量形成的平行四边形的面积由公式表示:
这里不难看出，所谓面积，其实就是一个2*2矩阵的行列式:
如下图所示:
事实上，即使我们的第一行向量是我们的第一行向量，第二行是第二行向量，或者第一列是第一列向量的秩变化，第二列自然是第二列向量的秩变化。
行列式3的性质的计算
在上面的推理中，我们很容易发现行列式值是写成水平行的列向量还是垂直行的行向量是无关紧要的。这就是为什么在计算行列式时，秩是相等的。而且我们还要注意，根据上面的分析，交换向量的顺序和面积都是负号。这就是为什么列向量或行向量在行列式中只交换一次。
所以综上所述，行列式本身其实是面积形式的推广，面积实际上是给定一组基的n个向量构成的n维定义的广义四边形的体积，这其实是行列式本质的一种含义。
4行列式的推广
根据上述结论，我们可以很容易地概括为三维体积的计算:
这里要注意的是，行列式的定义实际上是每行不同列元素的乘积，符号与所谓的逆序有关。什么是逆虚拟？所谓逆序，其几何意义是在指定一个正方向后，任意一对数字互换一次取一个负号。我们已经在上面的面积函数中看到了这个性质。事实上，体积，更高维度的广义体积，也有正方向，但很难用右手定则来说明。右手定则的局限性也是将高维区域推广到行列式表示的动机之一。
事实上，我们称之为反对称。这个时候，如果你善于思考，你会奇怪为什么要取不同行列元素的乘积。因为如果任意两个元素在同一个行和列中，它们交换它们的列指示符，乘积不变但符号相反。所以乘积一定是0，这也是行列式值没有体现出来的原因之一。
其实行列式的定义是比较复杂的，这其实来源于广大区域映射的反对称性。事实上，区域映射是二维的。通过任意将二维展开到多维，我们实际上可以发现R维的形式与R * R的行列式的形式完全一致.
其实在这里，我们可以总结一下各个维度所代表的东西。二维表示平面内的面积，三维实际上是三维空中的体积，四维实际上是四维空中的超体积。等等。在上面的推理中，我们发现这些向量的给定基坐标所写的矩阵一定是一个方阵，与矩阵行列式对应的面积为
5矩阵的行列式和逆矩阵
我们知道很多定理，比如行列式为0的矩阵，不可逆性，行列式不为0的矩阵，可逆性。这时我们不禁要问，代表面积的行列式是如何与线性变化的可逆性相结合的？
这时候就要明白线性变化的几何意义了。现在让我声明:
如果我们把空之间的一组线性无关的向量写成列向量的形式，那么它们的N维体的体积就不为零。根据以上分析，其值由行列式给出。向量经过线性变换A变换后，新的向量形式如下:
变换前，N维体的体积为:
变换后，N维体的体积为:
如果A的行列式不为零，说明经过这个变换后N维体的体积不为NULL。结合线性独立性和体积的性质，我们可以说:
如果a的行列式不为零，那么a可以把一组线性无关向量映射成一组新的线性无关向量；a是可逆的
如果A的行列式为零，那么A将把一组线性无关的向量映射成一组线性相关的向量
如果A的行列式为负，A会改变原N维体积的方向。
从线性无关到线性相关，部分信息丢失，所以这种转换显然是不可逆的。线性是否无关，直接关系到所构造的N维体的体积，这个体积值与A的行列式有关，因此，我们建立了A的行列式与其可逆性之间的几何关系。
例如，我们假设A是一个三维矩阵。如果映射前有一组三个线性独立的向量，我们知道它们的展开体积不是0；映射后，它们对应的新向量也可以形成一个平行六面体，所以这个平行六面体的体积就是原体积乘以a的行列式。
显然，如果A的行列式为0，那么变换后的新“平行六面体”的体积必然为0。根据以上结论，我们有:变换后的新向量集是线性相关的。
结论:
线性变换A的行列式是否为零代表其映射的保真度，即一组线性独立的向量是否可以变换成另一组保持独立的向量。
排名6
但有时行列式A虽然不能使空之间最大数目的一组向量线性独立，但却能保证一组少数向量线性独立，而且这个数向量往往小于线性空之间的维数，称为线性变换A的秩。
比如一个秩为2，3*3的矩阵A，因为秩小于3，那么任何一个三维六面体体积都会变成0，退化一个面，但是变换后还是有一个面积非零的面。
因此，所谓线性变换的秩，无非是保持变化后非零体积的几何形状的最大维数。
通过理解上述秩、行列式、可逆性的几何意义，可以任意构造一个线性变化的A，使其要么保留所有几何，要么将其降维成为具有特定维数和结构的几何，并压缩为更低维数的几何，因此可以视为“降维打击”
高维推理，希望有兴趣的朋友自己证明，下面有不懂的问题可以评论。希望多和大家交流，谢谢大家的指点。
