文 | 马明
古代很多数学家都曾提出过勾股数组的计算公式。
古希腊著名哲学家、数学家毕达哥拉斯的表达式为
其中n为正整数。
毕达哥拉斯率众迎日出
古希腊著名哲学家柏拉图的表达式为
其中n为大于1的正整数。
上述每种表达式都可以写出无数组勾股数，但都不能写出所有勾股数组。例如，不能写出这组勾股数，因为毕氏表达式所得的勾股数中，总有两个相邻的数。柏氏表达式所得的勾股数中，总有两个数的差等于2。
直到公元3世纪，被称为代数学鼻祖的古希腊数学家丢番图才获得较为完善的勾股数组的表达式：
其中m>n，m，n为正整数。
这是大家熟悉且常用的表达式。利用仍然不能算出所有的勾股数组，例如这组数就不包含在中。尽管如此而已，人们还是对丢番图的结果感兴趣。因为，在的基础上，只要将勾股数组乘以正整数就可以获得一切了。
出人意料的是，在丢番图出生前大约600年左右，几何学鼻祖欧几里得已发现了勾股数组的另一表达式
其中p，q奇偶性相同，p>q，pq是完全平方数。
而且值得骄傲的是，欧氏结果并不比丢氏结果逊色。因为，只要在中令p=2m2,q=2n2就得。尤为奇怪的是，在中令p=27，q=3，所得的一组勾股数是不可能从中直接获得的。从这一点上说，较为优。
在中如果令p=2km2，q=2kn2，便得人们熟悉的求勾股组的一般表达式：
其中m>n，m，n，k为正整数。
很有可能，几何学鼻祖欧几里得是用几何方法获得表达式的：如图，以直角三角形ABC的斜边AB为半径，以B点为圆心作半圆。设AB =c，AC=b，CB=a，则MC=MB+BC=c+a=p，CN=BN-BC=c-a=q。
解得
而
故b=√pq，仍得。
由进而获得，这又增加了的一种证法。
* 马明，著名数学特级教师，数学教育家。关心、了解、研究学生的所思所虑，探索并遵循数学教育规律，上课、写文章，循循善诱，启迪思维。著有《马明数学教育论文集》《节约的数学》等书及大量数学科普文章。多才多艺，钢笔书法曾获全国特等奖。
* 本文摘自《数学阅读精粹》，江苏凤凰教育出版社，2016年6月，原载于《时代学习报·数学周刊》。
